Matematika SMP/SMA • Geometri & Analitik Lingkaran

Geometri & Persamaan Lingkaran

Pelajari unsur lengkap lingkaran (jari-jari, diameter, busur, juring, tembereng, apotema), sudut, hingga persamaan lingkaran pusat (0,0), (a,b), dan bentuk umumnya.

Pilih Topik Penjelasan
1. Unsur Lingkaran

Jari-jari hingga Apotema

2. Sudut & Juring

Pusat, Keliling, Luas Juring

3. Persamaan Lingkaran

Pusat (0,0) dan (a,b)

4. Bentuk Umum

Mencari Pusat & Jari-jari

Konsep Dasar
r = 1/2 d

Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama dari titik pusat.

Penjelasan Materi Animasi

Kalkulator Luas Juring Lingkaran

Masukkan ukuran Jari-jari (r) dan Sudut Pusat (α) untuk menghitung luas juring secara instan!

10 Latihan Soal & Pembahasan Komprehensif

Latihan soal ini mencakup seluruh materi: jari-jari, diameter, juring, sudut, tembereng, tali busur, apotema, hingga persamaan lingkaran pusat (0,0), (a,b), dan bentuk umum.

Tips Menjawab: Jangan gunakan spasi. Ketik jawaban angka atau bentuk persamaan tanpa spasi (contoh: x^2+y^2=25 atau 14 atau 38.5).
Soal Latihan 1 (Jari-jari dan Diameter)

Sebuah lingkaran memiliki ukuran diameter sepanjang 28 cm. Berapakah panjang jari-jari (r) lingkaran tersebut?

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: Diameter (d) = 28 cm.
  • Ditanya: Jari-jari (r).
  • Pertama: Ingat kembali hubungan dasar bahwa jari-jari adalah setengah dari diameter (r = d / 2).
  • Kedua: Masukkan nilai diameter: r = 28 / 2 = 14.
  • Kesimpulan: Panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah 14 cm.
Soal Latihan 2 (Luas Juring)

Diketahui jari-jari lingkaran 7 cm dan sudut pusat juring adalah 90°. Berapakah luas juring tersebut? (Gunakan π = 22/7)

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: r = 7 cm, Sudut Pusat = 90°, π = 22/7.
  • Ditanya: Luas Juring.
  • Pertama: Gunakan rumus Luas Juring = (Sudut / 360°) × π × r².
  • Kedua: Hitung perbandingan sudut: 90 / 360 = 1/4.
  • Ketiga: Hitung luas lingkaran penuh: (22/7) × 7 × 7 = 154 cm².
  • Keempat: Kalikan pecahan juring dengan luas penuh: (1/4) × 154 = 38,5.
  • Kesimpulan: Luas juring tersebut adalah 38.5 cm².
Soal Latihan 3 (Sudut Pusat dan Sudut Keliling)

Jika sebuah sudut pusat menghadap busur yang sama dengan sudut keliling, dan besar sudut pusatnya adalah 70°, berapakah besar sudut keliling tersebut?

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: Sudut Pusat = 70°.
  • Ditanya: Besar Sudut Keliling.
  • Pertama: Ingat hubungan teorema lingkaran: Sudut Pusat besarnya adalah 2 kali lipat Sudut Keliling (jika menghadap busur yang sama). Sebaliknya, Sudut Keliling adalah setengah dari Sudut Pusat.
  • Kedua: Sudut Keliling = Sudut Pusat / 2 = 70° / 2 = 35°.
  • Kesimpulan: Besar sudut keliling tersebut adalah 35°.
Soal Latihan 4 (Panjang Busur Lingkaran)

Keliling suatu lingkaran adalah 88 cm. Jika sudut pusat suatu busur menghadap sudut 60°, berapakah panjang busur tersebut?

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: Keliling = 88 cm, Sudut Pusat = 60°.
  • Ditanya: Panjang Busur.
  • Pertama: Rumus Panjang Busur = (Sudut / 360°) × Keliling Lingkaran.
  • Kedua: Masukkan angka: (60 / 360) × 88 = (1 / 6) × 88.
  • Ketiga: 88 / 6 = 14.666... (dibulatkan menjadi 14.67).
  • Kesimpulan: Panjang busur lingkaran tersebut adalah 14.67 cm.
Soal Latihan 5 (Teorema Apotema & Jari-jari)

Sebuah tali busur panjangnya 24 cm berada di dalam lingkaran yang memiliki jari-jari 13 cm. Berapakah panjang garis apotema (jarak dari pusat ke tali busur)?

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: Tali Busur = 24 cm, Jari-jari (r) = 13 cm.
  • Ditanya: Panjang Apotema (a).
  • Pertama: Garis apotema selalu membagi tali busur menjadi dua bagian sama panjang. Setengah dari tali busur = 24 / 2 = 12 cm.
  • Kedua: Apotema, setengah tali busur, dan jari-jari membentuk segitiga siku-siku. Gunakan Teorema Pythagoras: a = √(r² - (1/2 tali busur)²).
  • Ketiga: a = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 cm.
  • Kesimpulan: Panjang apotema lingkaran tersebut adalah 5 cm.
Soal Latihan 6 (Persamaan Pusat 0,0)

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan memiliki jari-jari r = 5.

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: Pusat (0,0) dan Jari-jari r = 5.
  • Ditanya: Persamaan lingkaran.
  • Pertama: Rumus baku lingkaran berpusat di (0,0) adalah x² + y² = r².
  • Kedua: Masukkan nilai r = 5, lalu kuadratkan (5² = 25).
  • Kesimpulan: Persamaannya adalah x^2+y^2=25.
Soal Latihan 7 (Persamaan Pusat a,b)

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, -3) dengan panjang jari-jari 4.

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: Pusat (a,b) = (2, -3) dan r = 4.
  • Ditanya: Persamaan lingkaran.
  • Pertama: Rumus baku pusat (a,b) adalah (x - a)² + (y - b)² = r².
  • Kedua: Masukkan nilai: (x - 2)² + (y - (-3))² = 4². Negatif bertemu negatif jadi positif (y + 3). Kuadrat 4 jadi 16.
  • Kesimpulan: Persamaannya adalah (x-2)^2+(y+3)^2=16.
Soal Latihan 8 (HOTS - Titik Pusat dari Bentuk Umum)

Tentukan koordinat titik pusat dari persamaan lingkaran berbentuk umum:
x² + y² - 6x + 8y - 11 = 0
(Ketik jawaban dalam format koordinat tanpa spasi, contoh: (3,-4) atau 3,-4)

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: x² + y² - 6x + 8y - 11 = 0. Berarti nilai A = -6, B = 8, C = -11.
  • Ditanya: Koordinat Titik Pusat (-A/2, -B/2).
  • Pertama: Cari koordinat X pusat: -(-6) / 2 = 6 / 2 = 3.
  • Kedua: Cari koordinat Y pusat: -(8) / 2 = -4.
  • Kesimpulan: Koordinat titik pusat lingkaran tersebut adalah (3, -4).
Soal Latihan 9 (HOTS - Jari-jari dari Bentuk Umum)

Berdasarkan persamaan lingkaran pada soal sebelumnya (x² + y² - 6x + 8y - 11 = 0), berapakah panjang jari-jari (r) lingkaran tersebut?

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: Pusat (3, -4) dan C = -11.
  • Ditanya: Jari-jari r.
  • Pertama: Gunakan rumus jari-jari dari bentuk umum: r = √((A/2)² + (B/2)² - C) atau r = √(x_pusat² + y_pusat² - C).
  • Kedua: Masukkan angka: r = √(3² + (-4)² - (-11)).
  • Ketiga: Hitung di dalam akar: √(9 + 16 + 11) = √36.
  • Kesimpulan: Akar kuadrat dari 36 adalah 6.
Soal Latihan 10 (HOTS - Jarak Titik ke Pusat Lingkaran)

Diketahui sebuah lingkaran memiliki persamaan x² + y² = 50. Tentukan jarak terpendek dari titik (7, 1) ke garis keliling lingkaran tersebut melewati pusatnya!

Langkah Penyelesaian:
  • Diketahui: Lingkaran x² + y² = 50 (berpusat di 0,0 dengan r = √50 = 5√2). Titik di luar = (7, 1).
  • Ditanya: Jarak terpendek titik ke lingkaran.
  • Pertama: Cari jarak titik (7,1) ke pusat (0,0) menggunakan rumus jarak Pythagoras: d = √(7² + 1²) = √(49 + 1) = √50 = 5√2.
  • Kedua: Jarak terpendek ke keliling lingkaran adalah jarak titik ke pusat dikurangi panjang jari-jarinya (d - r).
  • Ketiga: Jarak = √50 - √50 = 0? Tunggu, karena titik (7,1) berada TEPAT di keliling lingkaran (7² + 1² = 50), maka jarak terpendeknya adalah 0 karena titik tersebut terletak di garis lingkaran itu sendiri!
  • Kesimpulan: Karena titik berada di keliling lingkaran, jarak terpendeknya adalah 0.